高中数学函数性质:单调性

  一、单调性的证明方法:定义法及导数法

  1、定义法:

  利用定义证明函数单调性的一般步骤是:

  ①任取x1、x2D,且x1x2;

  ②作差f(x1)-f(x2),并适当变形(分解因式、配方成同号项的和等);

  ③依据差式的符号确定其增减性。

  2、导数法:

  设函数y=f(x)在某区间D内可导。如果f(x)0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f(x)0,则f(x)在区间D内为减函数。

  补充

  a.若使得f(x)=0的x的值只有有限个,则如果f (x)0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f(x) 0,则f(x)在区间D内为减函数。

  b.单调性的判断方法:定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等。

  二、单调性的有关结论

  1、若f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)仍为增(减)函数。

  2、互为反函数的两个函数有相同的单调性。

  3、y=f[g(x)]是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相同,则其复合函数f[g(x)]为增函数;若f(x)、g(x)的单调性相反,则其复合函数f[g(x)]为减函数,简称同增异减。

  4、奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

  高中数学函数性质:奇偶性   高中数学函数性质:周期性

  一、重要结论

  1、f(x+a)=f(x),则y=f(x)是以T=a为周期的周期函数;

  2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

  3、若函数f(x+a)=f(x-a),则是以T=2a为周期的周期函数

  4、y=f(x)满足f(x+a)=1/f(x) (a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

  5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= -1/f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。

  6、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)},则是以T=2a为周期的周期函数。

  7、f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)},则是以T=4a为周期的周期函数。

  8、若函数y=f(x)满足f(x+a)={1-f(x)}/{1+f(x)}(xR,a0),则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。

  9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2(b-a)是它的一个周期。

  10、函数y=f(x)xR的图象关于两点A(a,y)、B(b,y),ab都对称,则函数是以2(b-a)为周期的周期函数;

  11、函数y=f(x)(xR)的图象关于A(a,y)和直线x=b(ab)都对称,则函数f(x) 是以4(b-a)为周期的周期函数;

  12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)为周期函数且2a的绝对值是它的一个周期。

  13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)为周期函数且4a的绝对值是它的一个周期。

  14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。

  15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(xR,T0),则f(T/2)=0。

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